Misurare un’altezza inaccessibile: Pitagora e angolo col misuratore
Perché misurare diversamente che tendendo un metro?
Un frontone, un soffitto a falda, il colmo di una casetta da giardino: la quota esiste, ma non si raggiunge con un metro senza montare un ponteggio. La misura indiretta sostituisce la scala con due mire da terra. Bastano due distanze e un angolo retto.
Come funziona la misura con Pitagora?
Il principio è il teorema stesso. Si sta a una certa distanza dalla parete e si mira il punto alto: è l’ipotenusa. Poi si mira la parete in orizzontale: è il cateto a terra. L’altezza è la radice quadrata della differenza dei quadrati.
Esempio: a 6,00 m dalla parete, la mira verso l’alto del frontone dà 7,50 m.
7,50² = 56,25 · 6,00² = 36,00 · 56,25 − 36,00 = 20,25 · √20,25 = 4,50 m
Questo calcolo l’apparecchio lo fa da sé. Ciò che non fa è garantire che la seconda mira fosse davvero orizzontale: è lì che la misura si perde.
Di quanto è amplificato l’errore?
I ±2 mm dichiarati su ciascuna mira non restano ±2 mm sul risultato. Nell’esempio sopra, uno scarto di 2 mm sull’ipotenusa sposta l’altezza di 3,3 mm, e 2 mm sull’orizzontale la spostano di 2,7 mm — circa 6 mm sommati.
| Misura | Valore | Effetto di ±2 mm sull’altezza |
|---|---|---|
| Ipotenusa | 7,50 m | ±3,3 mm |
| Orizzontale | 6,00 m | ±2,7 mm |
| Altezza calcolata | 4,50 m | circa ±6 mm |
L’amplificazione cresce quando l’angolo si chiude: più si va lontano dalla parete per la stessa altezza, più le due misure si assomigliano e più la loro differenza diventa fragile. Conviene dunque stare vicino quanto la mira consente.
Cosa cambia la misura d’angolo?
Il modello 120 m verde misura l’angolo su due assi, da −90° a +90°. Basta allora una sola mira: l’altezza è la distanza per il seno dell’angolo. Sullo stesso frontone, 7,50 m a 36,9° danno 7,50 × 0,600 = 4,50 m.
Due assi, e non uno solo, perché un apparecchio tenuto in mano è quasi sempre un po’ inclinato di lato: il secondo asse permette di saperlo.
A cosa serve l’angolo oltre alle altezze?
A leggere una pendenza. La pendenza di un tetto, di una rampa, di uno scarico si dà in gradi o in percentuale, e l’una e l’altra si ricavano dall’angolo misurato. Un grado vale circa l’1,7 %; 5° valgono l’8,7 %.
Quale modello fa che cosa?
Entrambi calcolano con Pitagora. Solo il 120 m verde misura un angolo, su due assi da −90° a +90°, il che permette di leggere una pendenza direttamente. Il 80 m conserva 99 misure in memoria contro 30 del 120 m verde, e dichiara 80 metri di portata contro 120.
| Funzione | 80 m | 120 m verde |
|---|---|---|
| Misura con Pitagora | sì | sì |
| Misura d’angolo | no | due assi, da −90° a +90° |
| Portata dichiarata | 80 m | 120 m |
| Memoria | 99 misure | 30 misure |
Vedere anche: superficie e volume col misuratore, il misuratore 80 m, misuratore laser o metro a nastro, e i nostri misuratori laser.
- Pitagora: altezza = √(ipotenusa² − orizzontale²). A 6,00 m, una mira di 7,50 m dà 4,50 m.
- I ±2 mm di ciascuna mira diventano circa ±6 mm sull’altezza: la misura indiretta amplifica l’errore.
- Più si va lontano dalla parete per la stessa altezza, più il calcolo diventa fragile.
- Il 120 m verde misura l’angolo su due assi, da −90° a +90°: basta una mira.