Medir uma altura inacessível: Pitágoras e ângulo no medidor
Porquê medir de outro modo que estendendo uma fita?
Uma empena, um tecto inclinado, a cumeeira de um abrigo de jardim: a cota existe, mas não se alcança com uma fita sem montar um andaime. A medição indirecta substitui a escada por duas leituras do chão. Bastam duas distâncias e um ângulo reto.
Como funciona a medição por Pitágoras?
O princípio é o próprio teorema. Coloca-se a certa distância da parede e visa-se o ponto alto: é a hipotenusa. Depois visa-se a parede na horizontal: é o cateto no chão. A altura é a raiz quadrada da diferença dos quadrados.
Exemplo: a 6,00 m da parede, a leitura para o alto da empena dá 7,50 m.
7,50² = 56,25 · 6,00² = 36,00 · 56,25 − 36,00 = 20,25 · √20,25 = 4,50 m
Esse cálculo o aparelho faz sozinho. O que não faz é garantir que a segunda leitura foi realmente horizontal: é aí que a medição se perde.
Quanto é amplificado o erro?
Os ±2 mm anunciados em cada leitura não ficam ±2 mm no resultado. No exemplo acima, um desvio de 2 mm na hipotenusa desloca a altura 3,3 mm, e 2 mm na horizontal deslocam-na 2,7 mm — cerca de 6 mm somados.
| Medição | Valor | Efeito de ±2 mm na altura |
|---|---|---|
| Hipotenusa | 7,50 m | ±3,3 mm |
| Horizontal | 6,00 m | ±2,7 mm |
| Altura calculada | 4,50 m | cerca de ±6 mm |
A amplificação cresce quando o ângulo se fecha: quanto mais se afasta da parede para a mesma altura, mais as duas medições se parecem e mais frágil fica a sua diferença. Convém pôr-se tão perto quanto a visada permita.
O que muda a medição de ângulo?
O modelo de 120 m verde mede o ângulo em dois eixos, de −90° a +90°. Basta então uma só leitura: a altura é a distância multiplicada pelo seno do ângulo. Na mesma empena, 7,50 m a 36,9° dão 7,50 × 0,600 = 4,50 m.
Dois eixos, e não um só, porque um aparelho segurado à mão está quase sempre um pouco inclinado de lado: o segundo eixo permite sabê-lo.
Para que serve o ângulo além das alturas?
Para ler uma pendente. A pendente de um telhado, de uma rampa, de um escoamento dá-se em graus ou em percentagem, e ambas se deduzem do ângulo medido. Um grau vale cerca de 1,7 %; 5° valem 8,7 %. Um telhado a 30° desce, pois, 57 %.
Que modelo faz o quê?
Ambos calculam por Pitágoras. Só o 120 m verde mede um ângulo, em dois eixos de −90° a +90°, o que permite ler uma pendente diretamente. O 80 m guarda 99 medições em memória contra 30 do 120 m verde, e indica 80 metros de alcance contra 120.
| Função | 80 m | 120 m verde |
|---|---|---|
| Medição por Pitágoras | sim | sim |
| Medição de ângulo | não | dois eixos, −90° a +90° |
| Alcance anunciado | 80 m | 120 m |
| Memória | 99 medições | 30 medições |
Ver também: área e volume no medidor, o medidor 80 m, medidor laser ou fita métrica, e os nossos medidores laser.
- Pitágoras: altura = √(hipotenusa² − horizontal²). A 6,00 m, uma leitura de 7,50 m dá 4,50 m.
- Os ±2 mm de cada leitura tornam-se cerca de ±6 mm na altura: a medição indirecta amplifica o erro.
- Quanto mais se afasta da parede para a mesma altura, mais frágil fica o cálculo.
- O de 120 m verde mede o ângulo em dois eixos, de −90° a +90°: basta uma leitura.