Unerreichbare Höhen messen: Pythagoras und Winkel am Entfernungsmesser
Warum anders messen als mit dem Bandmaß?
Ein Giebel, eine Dachschräge, der First eines Gartenhauses: das Maß existiert, aber ohne Gerüst kommt kein Bandmaß hin. Die indirekte Messung ersetzt die Leiter durch zwei Messungen vom Boden aus. Zwei Entfernungen und ein rechter Winkel genügen, mehr braucht die Rechnung nicht.
Wie funktioniert die Messung nach Pythagoras?
Das Prinzip ist der Satz selbst. Man stellt sich in einem Abstand zur Wand auf und peilt den oberen Punkt an: das ist die Hypotenuse. Dann peilt man die Wand waagerecht an: das ist die Kathete am Boden. Die Höhe ist die Quadratwurzel aus der Differenz der Quadrate.
Beispiel: aus 6,00 m Abstand zur Wand ergibt die Messung zum Giebel 7,50 m.
7,50² = 56,25 · 6,00² = 36,00 · 56,25 − 36,00 = 20,25 · √20,25 = 4,50 m
Diese Rechnung erledigt das Gerät allein. Was es nicht leistet: sicherstellen, dass die zweite Messung wirklich waagerecht war — dort geht die Messung verloren.
Wie stark wird der Fehler verstärkt?
Die angegebenen ±2 mm jeder Messung bleiben im Ergebnis nicht ±2 mm. Im obigen Beispiel verschiebt eine Abweichung von 2 mm auf der Hypotenuse die Höhe um 3,3 mm, und 2 mm auf der Waagerechten verschieben sie um 2,7 mm — zusammen etwa 6 mm.
| Messung | Wert | Wirkung von ±2 mm auf die Höhe |
|---|---|---|
| Hypotenuse | 7,50 m | ±3,3 mm |
| Waagerechte | 6,00 m | ±2,7 mm |
| Berechnete Höhe | 4,50 m | etwa ±6 mm |
Die Verstärkung wächst, wenn der Winkel flacher wird: je weiter man sich für die gleiche Höhe von der Wand entfernt, desto ähnlicher werden die beiden Messwerte und desto empfindlicher ihre Differenz. Man stellt sich daher so nah auf, wie die Messung es erlaubt.
Was ändert die Winkelmessung?
Das grüne 120-m-Modell misst den Winkel auf zwei Achsen, von −90° bis +90°. Dann genügt eine einzige Messung: die Höhe ist die Distanz mal dem Sinus des Winkels. Am gleichen Giebel ergeben 7,50 m unter 36,9° genau 7,50 × 0,600 = 4,50 m.
Zwei Achsen, nicht eine, weil ein handgehaltenes Gerät fast immer leicht verkantet ist: die zweite Achse macht das sichtbar.
Wozu dient der Winkel außer für Höhen?
Zum Ablesen einer Neigung. Die Neigung eines Dachs, einer Rampe, eines Ablaufs wird in Grad oder Prozent angegeben, und beides folgt aus dem gemessenen Winkel. Ein Grad entspricht etwa 1,7 %; 5° entsprechen 8,7 %. Ein Dach mit 30° fällt demnach mit 57 %.
Welches Modell kann was?
Beide rechnen nach Pythagoras. Nur der grüne 120 m misst einen Winkel, auf zwei Achsen von −90° bis +90°, womit sich eine Neigung direkt ablesen lässt. Der 80 m speichert 99 Messwerte gegenüber 30 beim grünen 120 m und gibt 80 Meter Reichweite an gegenüber 120.
| Funktion | 80 m | 120 m grün |
|---|---|---|
| Messung nach Pythagoras | ja | ja |
| Winkelmessung | nein | zwei Achsen, −90° bis +90° |
| Angegebene Reichweite | 80 m | 120 m |
| Speicher | 99 Messwerte | 30 Messwerte |
Siehe auch: Fläche und Volumen messen, der 80-m-Entfernungsmesser, Entfernungsmesser oder Bandmaß, und unsere Laser-Entfernungsmesser.
- Pythagoras: Höhe = √(Hypotenuse² − Waagerechte²). Aus 6,00 m ergibt eine Messung von 7,50 m 4,50 m.
- Die ±2 mm jeder Messung werden zu etwa ±6 mm auf der Höhe: die indirekte Messung verstärkt den Fehler.
- Je weiter man sich für die gleiche Höhe von der Wand entfernt, desto empfindlicher wird die Rechnung.
- Das grüne 120-m-Gerät misst den Winkel auf zwei Achsen, von −90° bis +90°: eine Messung genügt.